Los campos de la topología giran en torno a la clasificación de nodos o formas geométricas, mientras que la teoría de números estudia propiedades como la distribución de los números primos. Si nos limitamos a una relación un poco más simple, podemos observar un patrón con los números 5 y 6, que fue reconocido por los babilonios hace miles de años: 5 al cuadrado es 25, que termina en 5; El cuadrado de 25 es 625, que termina en 25; y el cuadrado de 625 es 390625, que termina en 625. Lo que parece un truco divertido que el matemático Maurice Krejcik hizo famoso en 1942 conduce a uno de los sistemas numéricos más importantes de las matemáticas, y uno de los más extraños.
Si juegas con el número 6, el resultado no es tan impresionante, pero aquí también surge un patrón. 36 al cuadrado da 1296. Aunque 36 ya no aparece en la secuencia de dígitos, el resultado siempre termina en 6. En general, los números cuyo cuadrado termina en el mismo dígito o dígitos que el número mismo se denominan automórficos. Hay un número infinito de ellos: 0, 1, 5, 6, 25, 76, 376, etc. Resulta que, excepto 0 y 1, todos los números automórficos terminan en 5 o 6.
Sin embargo, el número 5 es particularmente interesante. No sólo es automórfico, sino que su cuadrado y el cuadrado de su cuadrado son automórficos. Naturalmente, esto plantea la cuestión de si esta secuencia de números automórficos continúa indefinidamente. En otras palabras, ¿la elevación repetida al cuadrado de 5 siempre produce un número automórfico?
Resulta que no es así.

Entonces el patrón parece colapsar después del tercer cuadrado, 390,6252: resultados: 152.587.890.625. Por lo tanto, 390,625 no puede ser automórfico porque el número no está completamente contenido en su cuadrado.
Pero si miras de cerca, puedes ver que al menos los últimos cinco dígitos aparecen en un número cuadrado, que es 90,625. ¿Qué pasa si eres cuadrado? este número que obtienes: 8.212.890.625. Por tanto, 90625 es un número automórfico.
Eso significa que puedes seguir adelante y calcular 8.212.890.625 al cuadrado. El resultado es enorme, pero resulta que 8.212.890.625 también es automórfico porque su cuadrado es 67.451.572.418.212.890.625.
Puede continuar con este procedimiento. eleva al cuadrado sucesivamente todos los números, y si no son automórficos, continúa los cálculos con los últimos dígitos repetidos. Esto da como resultado la siguiente secuencia de números.
5:00
25:00
625
90.625
8.212.890.625
18.212.890.625
918.212.890.625
Como puede ver, esto conduce a un número automórfico cada vez mayor. De hecho, este procedimiento puede continuar indefinidamente. al final, el resultado es un número infinito completamente automórfico (es decir, un número infinito cuyo cuadrado se corresponde a sí mismo; norte:2: =: norte:) Incluso si no puedes escribir ese número infinitamente grande, se conocen sus últimos dígitos: …918,212,890,625.
Que exista tal «punto fijo» en el infinito es sorprendente en sí mismo. Lo que es aún más sorprendente es el hecho de que al menos los últimos dígitos de este número se pueden especificar con precisión.
No es inmediatamente obvio que este procedimiento pueda continuarse infinitamente. Después de todo, en algún momento puedes encontrarte con un número que ya no es automórfico. Y, sin embargo, ¿qué se supone que representa un número infinito como…67,451,572,418,212,890,625? ¿En qué se diferencia de un valor como…11111111111? Después de todo, ambos números son infinitos.
Nace un nuevo sistema digital
A finales del siglo XIX, el matemático Kurt Hensel desarrolló el llamado concepto página:– números impares. Estos son números que tienen un número infinito de dígitos antes del punto decimal, a diferencia de los números reales ordinarios que continúan indefinidamente después del punto decimal, por ejemplo π = 3,14159… Incluso si esto parece extremadamente inusual al principio, puedes calcular página:– números ádicos de la misma forma que los números reales ordinarios.
Para ver esto, considere una representación ligeramente inusual de números reales. Todo número real también se puede expresar como una suma infinita. Por ejemplo, π = 3 x 100: + 1 x 10-1: +4 x 10-2: + 1 x 10-3: +5×10-4: + 9 x 10-5: +…
Él página:-Los números impares también se pueden representar como una serie infinita, pero con exponentes positivos. Entonces …890625 = 5 x 100: + 2 x 101: +6 x 102: + 0x103: + 9 x 104: + 8 x 105:00 + …. Entonces queda más claro cómo contarías con estos números impares. Por ejemplo,…111111 +…22222 =…33333. Él página:-Los números impares también se pueden dividir y multiplicar.
Sin embargo, las dos últimas operaciones pueden provocar problemas con números automórficos como…890,625. Como ya se mencionó, este número corresponde a su cuadrado, por lo que se aplica lo siguiente. norte:2: =: norte:.
Si transformas esta ecuación cuadrática, el resultado será: norte:2: – norte =: norte: X (norte: – 1) = 0. Si el producto de dos factores (aquí norte: y: norte: – 1) da como resultado 0, entonces al menos uno de los factores debe ser 0. Este es sólo el caso cuando norte: = 0 o norte: = 1. Atrás página:– números impares, norte: También puede tener un valor distinto de 0 o 1, como …890,625, por ejemplo, y aun así satisfacer la ecuación anterior. Esto significa que con página:– números impares, el producto de dos números que no son iguales a 0 puede dar como resultado 0.
División por cero
Estos «divisores de cero» crean un problema incluso en cálculos sencillos. De repente, hay que tener mucho cuidado al dividir para evitar dividir accidentalmente un número entre 0. Esto se puede ver en el siguiente ejemplo. Suponer que a y: b son página:-números ádicos no iguales a 0 y que a X: b = 0. Si quieres resolver la ecuación 2⁄a =: b x (1 + X:) para X:normalmente divides ambos lados de la ecuación b primero. porque el producto a y: b es 0, sin embargo, dividirás el lado izquierdo entre 0. Por tanto, la ecuación no se puede resolver de esta forma.
Resulta que estos divisores de cero problemáticos se pueden evitar. Si está interesado en el nombre del sistema digital, entonces página: significa un número primo. Él página:Sin embargo, los números -ádicos que presenté son en realidad números «10-ádicos», definidos en base 10. Dado que 10 no es un número primo, se producen esos molestos divisores de cero. Pero si nos fijamos, por ejemplo, en los números de 3 ácidos representados por una suma de la forma: X:0: x30: +: X:1: x31: +: X:2: x32: +: X:3: x33: +: X:4: x34: +: X:5:00 x35:00 + … (donde los coeficientes X:a mí = 0, 1 o 2), no encontrarás divisores de cero. Y entonces página:– números impares, ¿dónde? página: es en realidad un número primo que no contiene valores completamente automórficos que correspondan a norte:2: =: norte:excepto …00000 y …00001 (0 y 1).
Aunque página:– Los números adictivos parecen extremadamente complicados a primera vista, pero se utilizan mucho. De hecho, los teóricos de números utilizan estos valores impares en gran parte de su trabajo. página:– Los números ádicos están «muy alejados de nuestras intuiciones cotidianas», afirmó el matemático Peter Scholze. Cuántico revista. “Ahora encuentro que las cifras reales son mucho más confusas que página:– números impares. Me he acostumbrado tanto a ellos que ahora los números reales me parecen muy extraños».
Este artículo apareció originalmente en espectro de la ciencia y reproducido con autorización.