Los investigadores han logrado avances significativos en la geometría espectral, demostrando un caso especial de la conjetura de Polya sobre los valores propios de los discos. Su trabajo, que combina la sofisticación teórica con posibles aplicaciones prácticas, destaca el valor universal y la belleza artística de la investigación matemática. Crédito: SciTechDaily.com
El profesor y sus colegas han demostrado la conjetura de Polya sobre los valores propios del disco, un problema difícil en matemáticas.
¿Puedes distinguir la forma de un tambor por los sonidos que hace?
Esta es una pregunta que le gusta hacer a Iosif Polterovich, profesor del Departamento de Matemáticas y Estadística de la Universidad de Montreal. Polterovich utiliza la geometría espectral, una rama de las matemáticas, para comprender los fenómenos físicos asociados con la propagación de ondas.
Un gran avance en las conjeturas matemáticas
El verano pasado, Polterovich y sus colegas internacionales, Nikolai Filonov, Michael Levitin y David Sher, demostraron un caso especial de una famosa conjetura en geometría espectral formulada en 1954 por el destacado matemático húngaro-estadounidense George Polya.
La suposición se refiere a la estimación de las frecuencias del tambor redondo o, en términos matemáticos, los valores propios del disco.
Este gráfico muestra las funciones de Bessel, donde los puntos corresponden a la frecuencia de los sonidos provenientes de un tambor redondo. Crédito: Michael Levitt
El propio Polya confirmó su conjetura en 1961 para el mosaico de dominios en el plano, como triángulos y rectángulos. Hasta el año pasado, el supuesto se conocía sólo para estos casos. El disco, a pesar de su aparente sencillez, siguió siendo esquivo.
«Imagínese un piso infinito cubierto con baldosas de la misma forma que encajan para llenar el espacio», dijo Polterovic. «Puedes formar mosaicos con cuadrados o triángulos, pero no con discos. Un disco no es realmente una buena forma para un mosaico.’
La universalidad y el impacto de las matemáticas.
En un artículo de julio de 2023 en la revista Mathematical Sciences Hallazgos matemáticosLos investigadores demuestran que la conjetura de Polya es válida para el disco, un caso considerado particularmente difícil.
Aunque su resultado es principalmente de valor teórico, el método de su prueba tiene aplicaciones en matemáticas computacionales y cálculos numéricos. Los autores están explorando actualmente esta vía.
Iosif Polterovich
«Aunque las matemáticas son una ciencia básica, en algunos aspectos son similares a los deportes y al arte», dijo Polterovich.
«Tratar de demostrar una vieja suposición: eso es el deporte. Encontrar una solución elegante es un arte. Y en muchos casos, los hermosos descubrimientos matemáticos son realmente útiles, sólo hay que encontrar la aplicación adecuada.»
Referencia. «La conjetura de Polya para las bolas euclidianas» de Nikolai Filonov, Michael Levitin, Iosif Polterovich y David A. Por Cher el 5 de junio de 2023 Hallazgos matemáticos.
DOI: 10.1007/s00222-023-01198-1
